Как складывать дроби с разными знаками

Содержание
  1. Сложение дробей с разными знаками правило
  2. Правило сложения чисел с разными знаками
  3. Примеры сложения чисел с разными знаками
  4. Сложение и вычитание дробей
  5. Что делать, если знаменатели разные
  6. Что делать, если у дроби есть целая часть
  7. Резюме: общая схема вычислений
  8. Урок математики по теме «Сложение и вычитание чисел с разными знаками» (6-й класс)
  9. Сложение чисел с разными знаками. 6-й класс
  10. Сложение и вычитание алгебраических дробей
  11. Сложение алгебраических дробей
  12. Можно складывать дроби
  13. Вычитание алгебраических дробей
  14. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
  15. Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки
  16. Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом
  17. Сложение дробей
  18. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
  19. Сложение дробей с разными знаменателями
  20. Сложение смешанных чисел или смешанных дробей
  21. Алгебраические дроби
  22. Сокращение алгебраической дроби
  23. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем
  24. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
  25. Умножение алгебраических дробей
  26. Деление алгебраических дробей
  27. Сложение и вычитание дробей

Сложение дробей с разными знаками правило

Как складывать дроби с разными знаками

В этой статье мы разберемся со сложением чисел с разными знаками. Здесь мы приведем правило сложения положительного и отрицательного числа, и рассмотрим примеры применения этого правила при сложении чисел с разными знаками.

Навигация по странице.

Правило сложения чисел с разными знаками

Положительные и отрицательные числа можно трактовать как имущество и долг соответственно, при этом модули чисел показывают величину имущества и долга. Тогда сложение чисел с разными знаками можно рассматривать как сложение имущества и долга.

При этом понятно, что если имущество меньше долга, то после взаимозачета останется долг, если имущество больше долга, то после взаимозачета останется имущество, а если имущество равно долгу, то после расчетов не останется ни долга, ни имущества.

Объединим приведенные выше рассуждения в правило сложения чисел с разными знаками. Чтобы сложить положительное и отрицательное число, надо:

  • найти модули слагаемых;
  • сравнить полученные числа, при этом
    • если полученные числа равны, то исходные слагаемые являются противоположными числами, и их сумма равна нулю,
    • если же полученные числа не равны, то надо запомнить знак числа, модуль которого больше;
  • из большего модуля вычесть меньший;
  • перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
  • Озвученное правило сводит сложение чисел с разными знаками к вычитанию из большего положительного числа меньшего числа. Также понятно, что в результате сложения положительного и отрицательного числа может получиться или положительное число, или отрицательное число, или нуль.

    Также заметим, что правило сложения чисел с разными знаками справедливо для целых чисел, для рациональных чисел и для действительных чисел.

    Примеры сложения чисел с разными знаками

    Рассмотрим примеры сложения чисел с разными знаками по правилу, разобранному в предыдущем пункте. Начнем с простого примера.

    www.cleverstudents.ru

    Сложение и вычитание дробей

    Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

    Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

    Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

    Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

    Задача. Найдите значение выражения:

    Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

    Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

    Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

    Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

    Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

    Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

    Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

  • Плюс на минус дает минус;
  • Минус на минус дает плюс.
  • Разберем все это на конкретных примерах:

    В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

    Что делать, если знаменатели разные

    Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

    Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

    В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

    Что делать, если у дроби есть целая часть

    Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

    Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

  • Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
  • Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
  • Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.
  • Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

    Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

    Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

    Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

    Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

    Резюме: общая схема вычислений

    В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

    1. Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
    2. Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
    3. Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
    4. Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.
    5. Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

      www.berdov.com

      Действия с отрицательными и положительными числами

      Абсолютная величина (модуль). Сложение.

      Вычитание. Умножение. Деление.

      Абсолютная величина ( модуль ). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числаи нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.

      П р и м е р ы : | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.

      1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются

      их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.

      2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные

      величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак

      числа с большей абсолютной величиной.

      Вычитание.Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.

      ( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;

      ( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;

      ( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;

      ( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;

      Умножение.При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.

      Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):

      При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.

      Деление.При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные.

      Здесь действуют те жеправила знаков, что и при умножении:

      www.bymath.net

      Урок математики по теме «Сложение и вычитание чисел с разными знаками» (6-й класс)

      Разделы: Математика

      Цели и задачи урока:

    6. Обобщить и систематизировать знаний учащихся по данной теме.
    7. Развивать предметные и общеучебные навыки и умения, умение использовать полученные знания для достижения поставленной цели; устанавливать закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний.
    8. Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля; вырабатывать желания и потребности обобщать полученные факты; развивать самостоятельность, интерес к предмету.
    9. В результате этого урока учащиеся смогут:

    10. закрепить знания по темам: делимость чисел, обыкновенные дроби, отношения и пропорции, сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел,
    11. активизировать внимание на различных этапах урока;
    12. научиться взвешивать и доказывать альтернативные мнения, принимать продуманные решения, общаться друг с другом;

Учебник: Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.– М: “Русское слово”, 2009 г.

I. Вступительное слово учителя.

II. Проверка домашнего задания.

III. Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Актуализация знаний.

IV. Решение заданий по учебнику.

V. Самостоятельная работа по вариантам.

VI. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

  • Компьютер
  • Мультимедийный проектор, звуковые колонки
  • Программа “Microsoft PowerPoint 2003” .Презентация.
  • I. Организационный моментУченики под руководством учителя проверяют наличие дневника, рабочей тетради, инструментов, отмечаются отсутствующие, проверяется готовность класса к уроку, учитель психологически настраивает детей на работу на уроке.xn--i1abbnckbmcl9.xn--p1ai

    Сложение чисел с разными знаками. 6-й класс

    Цели урока:

    • научить складывать отрицательные числа, числа с разными знаками и противоположные числа;
    • развитие познавательной активности, творческих способностей, умения оценивать друг друга;
    • формирование умения самостоятельно мыслить.
    • Ход урокаУстная работа: (приложение, слайд №2-4)1. Как сложить две десятичные дроби?(Сложение по разрядам, запятая — под запятой.)2. Как сложить две обыкновенные дроби?(- найти общий знаменатель;— найти дополнительные множители;3. Вычислить:

      • 4 + 1,5 =
      • 6,3 + 3,4 =
      • 7,2 — 4,1 =
      • 4. Как сравнить десятичные дроби? (по разрядам.)5. Как сравнить обыкновенные дроби, если:а) знаменатели равны; (из двух дробей с равными знаменателями больше та, числитель которой — больше)б) числители равны; (из двух дробей с равными числителями больше та, числитель которой — меньше)в) и числитель, и знаменатель — разные. (если числители и знаменатели дробей разные, то приводим их к общему знаменателю, а затем сравниваем их также как с равными знаменателями)6. Сравнить:

        • 1,3 и 2,4;
        • 3,15 и 3,17;
        • и ;
        • и ;
        • и .
        • 7. Какие числа называются отрицательными? (числа со знаком «минус»)8. Какие числа называются положительными? (числа со знаком «плюс»)9. Какие числа называются противоположными? (числа, находящиеся на одинаковом расстоянии от нуля, но в противоположном направлении.)10. Назовите положительные, отрицательные и противоположные числа:

        Источник: https://miassats.ru/3346/

        Сложение и вычитание алгебраических дробей

        Как складывать дроби с разными знаками

        Алгебраические дроби складывают и вычитают по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей.

        Сложение алгебраических дробей

        Запомните!

        Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

        Можно складывать дроби

        При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

        1. числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
        2. знаменатель остаётся прежним.

        Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

        Так как знаменатель у обеих дробей «2а», значит, дроби можно сложить.

        Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные.

        Вычитание алгебраических дробей

        Запомните!

        Вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

        При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

        1. из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
        2. знаменатель остаётся прежним.

        Важно!

        Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

        Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

        Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

        Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с», значит, эти дроби можно вычитать.

        Вычтем из числителя первой дроби «(a + d)» числитель второй дроби «(a − b)». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок.

        Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

        Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

        В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

        Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю.

        Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .

        В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

        Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.

        1. Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
        2. Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
        3. Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
        4. Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

        Вернемся к нашему примеру.

        Рассмотрим знаменатели «15a» и «3» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

        1. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для «15» и «3» — это «15».
        2. Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях. В знаменателях «15a» и «5» есть только
          один одночлен — «а».
        3. Перемножим НОК из п.1 «15» и одночлен «а» из п.2. У нас получится «15a». Это и будет общим знаменателем.
        4. Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a»?».

        Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a», значит, ее не требуется ни на что умножать.

        Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3», чтобы получить «15a»?» Ответ — на «5a».

        При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a» и числитель, и знаменатель.

        Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики».

        Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

        Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

        Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

        В таком виде вычитать дроби нельзя, так как у них разные знаменатели. Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю.

        Рассмотрим знаменатели «(x − y)» и «(x + y)» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

        1. Работаем с числовыми коэффициентами. Числовых коэффициентов в знаменателях нет, поэтому переходим к многочленам.
        2. Работаем с многочленами. Находим все различные многочлены из знаменателей в наибольших степенях и перемножаем их. Важно!

          Многочлены необходимо рассматривать целиком! Для удобства заключайте целый многочлен в скобки.

        У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y)» и «(x + y)». Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y)» — общий знаменатель.

        Теперь дроби можно вычитать, т.к. у них одинаковый знаменатель.

        В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения.

        Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

        В первой алгебраической дроби знаменатель «(p2 − 36)». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов.

        После разложения многочлена «(p2 − 36)» на произведение многочленов
        «(p + 6)(p − 6)» видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6)». Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6)».

        Важно!

        Прежде чем приводить многочлены к общему знаменателю, попытайтесь использовать формулы сокращённого умножения или вынесение общего множителя за скобки.

        Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями с использованием формул сокращенного умножения.

        Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки

        На первый взгляд одинаковых многочленов в обеих дробях нет.

        Вынесем общий множитель «а» за скобки в обоих знаменателях.

        После вынесения общего множителя «а» за скобки, в обоих знаменателях появился одинаковый одночлен «а». Значит, общий знаменатель для обеих дробей будет выглядеть так: «а(а + 1)(b + 1)».

        Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом

        Рассмотрим пример. Требуется сложить алгебраическую дробь с одночленом (буквой).

        Чтобы сложить одночлен или число с алгебраической дробью, нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем «1».

        Представим одночлен «а» как алгебраическую дробь со знаменателем «1».

        Подобное действие можно сделать, так как при делении на единицу получается тот же самый одночлен.

        Теперь приведем алгебраические дроби к общему знаменателю «(а − 1)» и решим пример.

        Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/algebraic_fractions/addition_and_subtraction_algebraic_fractions.php

        Сложение дробей

        Как складывать дроби с разными знаками

        Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

        Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

        На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

        Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

        Решение:

        Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).

        Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

        \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)

        В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

        \(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

        Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.

        Сложение дробей с разными знаменателями

        Рассмотрим пример:

        Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).

        Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти общий знаменатель, а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

        Как найти общий знаменатель можно посмотреть здесь, нажав на ссылку>>

        Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

        \(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)

        В буквенном виде получаем такую формулу:

        \(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

        Сложение смешанных чисел или смешанных дробей

        Сложение смешанных дробей происходит по закону сложения.

        У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

        Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

        Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

        \(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

        Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

        Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

        Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

        \(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)

        Вопросы по теме:
        Как складывать дроби?
        Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

        Как решать дроби с разными знаменателями?
        Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

        Как решать смешанные дроби?
        Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

        Пример №1:
        Может ли сумма двух правильных дробей в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

        Решение:

        \(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)

        Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

        \(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)

        Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

        Ответ: на оба вопроса ответ да.

        Пример №2:
        Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\)  б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

        а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

        б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

        Пример №3:
        Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\)   б) \(5\frac{1}{3}\)

        а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

        б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

        Пример №4:
        Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\)  б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\)  в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

        Решение:

        а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

        б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

        в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

        Задача №1:
        За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

        Решение:
        Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

        \(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)

        Ответ: весь торт съели.

        Источник: https://TutoMath.ru/5-klass/slozhenie-drobej.html

        Алгебраические дроби

        Как складывать дроби с разными знаками
        Определение

        Любая обыкновенная дробь называется алгебраической дробью, так как она представляет собой деление, записанное с помощью дробной черты. В алгебраической дроби могут встречаться не только числа, но и буквенные выражения.

        Примеры алгебраических дробей:

        Для алгебраических дробей применяются правила, аналогичные обыкновенным дробям.

        Сокращение алгебраической дроби

        Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же выражение, на их общий множитель (одночлен, его степень или многочлен) – применяется основное свойство дроби. Причем и числитель, и знаменатель должны содержать множители.

        Пример №1. Сократим дробь:

        В числителе и знаменателе дроби мы видим переменную b, на которую и разделим каждую часть дроби:

        Промежуточные действия можно не записывать, а выполнять устно.

        Пример №2. Сократим дробь:

        Здесь содержатся степени с одинаковым основанием, поэтому, необходимо помнить еще и правило деления степеней с одинаковым основанием (основание остается прежним, а показатели степеней вычитаем). Сократим дробь на меньшую степень – на  m5:

        Пример №3. Сократим дробь:

        В каждой части дроби содержатся разные многочлены, поэтому сократить пока дробь мы не можем, так как нет множителей. Значит, по возможности, мы должны найти выражение, которое можно разложить на множители, это знаменатель, так как можем вынести за скобки общий множитель х(х – у). Только потом мы можем сократить дробь на одно и то же выражение – многочлен (х – у).

        Пример №4. Сократим дробь:

        Здесь мы видим, что в числителе многочлен, а в знаменателе произведение одночленов и многочлена, причем многочлены различны. Значит, надо сделать так, чтобы числитель и знаменатель содержали одинаковые множители. Числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов, то есть m2– n2=(m–n)(m+n), затем сократить дробь на одно и то же выражение (m–n).

        Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем

        При сложении и вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель остается прежним, а числители складывают или вычитают (из числителя первой вычитают числитель второй дроби).

        Пример №5. Выполним сложение дробей:

        Здесь одинаковые знаменатели, поэтому записываем его, а числители складываем: при сложении видим подобные слагаемые, которые приводим и получаем в числителе 5х.

        Пример №6. Выполним вычитание дробей:

        В знаменатель записываем 2х, а из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, при этом не забываем вычитаемое взять в скобки, если оно является многочленом. Затем раскрываем скобки, помня о том, что необходимо поменять знаки на противоположные, так как перед ними стоит знак «минус». Затем приводим подобные слагаемые и получаем новый числитель.

        Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

        Алгоритм действий

        Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо:

        1. найти общий знаменатель, который может состоять из таких множителей, как числа, степени, многочлены и т.д.
        2. Найти дополнительный множитель к каждой дроби.
        3. Умножить каждый числитель на его дополнительный множитель.
        4. Выполнить сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями.
        5. При необходимости сократить полученную дробь.

        Пример №7. Выполнить сложение дробей:

        Чтобы найти общий знаменатель, надо найти для чисел 5 и 10 наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится и на 5, и на 10), это число 10. В первом знаменателе есть еще множитель – переменная у, поэтому также берем у для общего знаменателя. Таким образом, у нас есть два множителя 10 и у, это и есть наш общий знаменатель.

        Теперь находим дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого общий знаменатель 10у делим на первый знаменатель 5у, получим 2, значит, умножаем на 2 первый числитель 2х. Для второй дроби 10у делим на 10, получаем у, умножаем на него числитель второй дроби – с. Получаем в числителе 4х+су.

        Пример №8. Выполнить вычитание дробей:

        Здесь знаменатели дробей различные многочлены, поэтому надо рассмотреть каждый. Первый знаменатель – это формула сокращенного умножения, по ней можно разложить на множители данный многочлен а2 – с2=(а–с)(а+с). Второй знаменатель представляет собой простой многочлен, который нельзя разложить на множители. Составим новый знаменатель, состоящий из разных выражений – это (а–с)(а+с).

        Находим дополнительные множители: к первой дроби дополнительного множителя нет, так как новый общий знаменатель – это полностью знаменатель первой дроби. А ко второй дроби это будет выражение (а – с). Поэтому умножаем числитель 2 на (а – с).

        Приводим подобные слагаемые, а полученную дробь сокращаем на выражение (а+с).

        Умножение алгебраических дробей

        Алгоритм действий

        Чтобы перемножить алгебраические дроби, надо числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. При необходимости выполнить сокращение алгебраической дроби, используя правило.

        Пример №9. Выполнить умножение дробей:

        Здесь перемножаем числители и знаменатели, полученную дробь сокращаем на 2с.

        Пример №10. Выполнить умножение дробей:

        Здесь в числителях и знаменателях  — многочлены. Поэтому при записи умножения обязательно заключаем  их в скобки. При этом мы видим, что числитель и знаменатель содержат одинаковые множители – многочлены (х+2), поэтому можно сократить дробь на этот многочлен.

        Деление алгебраических дробей

        Алгоритм действий

        Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть умножить на дробь, у которой числитель равен знаменателю второй дроби, а знаменатель числителю второй дроби). Далее – выполнить умножение дробей по уже известному алгоритму.

        Пример №11. Выполнить деление дробей:

        Здесь выполним деление по алгоритму: перейдем от деления к умножению на дробь, обратную делителю. Сократим полученную дробь на выражение (a+b) и на 2.

         

        Источник: https://spadilo.ru/algebraicheskie-drobi/

        Сложение и вычитание дробей

        Как складывать дроби с разными знаками

        30 июля 2011

        Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

        Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

        Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

        Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

        Задача. Найдите значение выражения:

        Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

        Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

        Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

        Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

        Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

        Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

        Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

        1. Плюс на минус дает минус;
        2. Минус на минус дает плюс.

        Разберем все это на конкретных примерах:

        Задача. Найдите значение выражения:

        В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Адепт в законе
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: